Técnicas de conteo (continuación)
Clase de Matemáticas
Hola, ¿cómo están?
Continúo hablando sobre técnicas de conteo, tema que comencé en la publicación anterior. Hoy, veremos permutaciones y variaciones.
Como siempre si prefieres ver un video en lugar de leer, puedes ir a este enlace.
Si prefieres leer, comencemos con el tema.
Permutaciones: el orden es importante
Hay un estudio o ejercicio para guitarra de coordinación entre mano derecha y mano izquierda, haciendo hincapié en esta última, que cubre las diferentes secuencias en las que los dedos de la mano izquierda pisan las cuerdas en los diferentes trastes.
Numeración dedos mano izquierda
Antes de explicar el ejercicio, debemos señalar que los dedos de la mano izquierda se identifican con los números 1, 2, 3 y 4. Siendo 1 el dedo índice, 2, el mayor, 3, el anular y 4, el meñique.
El pulgar no se tiene en cuenta porque se apoya en la parte trasera del mango de la guitarra.
Entonces, una secuencia sería índice, mayor, anular, meñique. Es decir, 1, 2, 3 y 4 (como se ve en el vídeo). Otra, sería mayor, anular, índice, meñique: 2, 3, 1 y 4, etcétera.
Estudio guitarra mano izquierda
Vemos que, a diferencia de las combinaciones, aquí el orden nos interesa. No sería el mismo ejercicio comenzar con el dedo índice que hacerlo con el dedo anular, por ejemplo.
Si el orden no nos interesara, sería un problema combinatorio, de los que ya vimos, en donde respondería a la pregunta ¿cuántos subconjuntos de 4 elementos podríamos formar con un conjunto de 4 elementos? La respuesta es: uno solo: C(4, 4) = 1
Volviendo a la permutación, ¿cómo podemos deducir la fórmula?
Pensemos lo siguiente: al momento del inicio del ejercicio, tengo 4 maneras diferentes de comenzarlo: una por cada dedo. A la hora de colocar el segundo dedo, nos quedan 3 opciones, porque uno ya lo utilicé. Es decir, hasta el momento tenemos 4 x 3 = 12 secuencias posibles. Cuando vamos a elegir el tercer dedo, nos quedan solo dos opciones. Finalmente, para colocar el último dedo ya no podemos elegir: queda uno solo.
Entonces, la cantidad de secuencias diferentes será:
¿Te suena este cálculo?
Claro! Es el factorial de 4: 4!
Conclusión:
La cantidad de permutaciones de n elementos diferentes será: P(n) = n!
Nota: si no recuerdas lo que es el factorial de un número, te recomiendo que lo veas en mi publicación anterior.
2. Variaciones: el orden también importa
Supongamos que tenemos un conjunto formado por tres letras: a, b y c, y nos piden que formemos subconjuntos de dos elementos utilizando dichas letras.
La respuesta será 3: ab, ac y bc. Este es un problema combinatorio en donde el orden no nos interesa. Pero, si el enunciado lo cambiamos diciendo
Forma palabras (aunque sean inventadas) de longitud 2, tomando esas letras
Ahora el orden sí va a ser importante: no es lo mismo la palabra “ac” que la palabra “ca”. Esto se llama variación.
Alguien se preguntará ¿no es lo mismo que la permutación?
La respuesta es: casi. La diferencia es que en las permutaciones estamos variando todos los elementos del conjunto, en cambio, en la variación, no.
En realidad, la permutación es un caso particular de la variación.
La fórmula de variación, será:
En nuestro ejemplo:
Otra manera de pensarlo es que, al igual que en el ejercicio de guitarra, para la primera elección tenemos 3 posibilidades.
Luego, para la segunda, ya nos quedan solo dos opciones. Por lo tanto, las diferentes palabras serán 3 x 2 = 6.
En el siguiente artículo, quiero hacer un repaso de los temas que hemos visto hasta el momento y buscar la relación que hay entre las fórmulas de los diferentes casos.
También, voy a resolver algunos ejercicios típicos de examen.
Resumen
Tanto en las permutaciones como en las variaciones, el orden nos interesa.
En una permutación, se varían todos los elementos del conjunto.
En una variación, se toma un subconjunto de todos los elementos.
Permutación de n elementos diferentes:
Variación de n elementos tomados de a k elementos.
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