Matemáticas: dos errores comunes

Buenos días o buenas tardes o buenas noches.

Hoy hablaré de dos errores comunes que vemos a diario a nivel ESO - Bachiller. Ambos están relacionados con la raíz cuadrada. Si prefieres ver un video en lugar de leer, puedes ir a este enlace.

Si prefieres leer, vayamos al primero.

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1. Resultados positivos y negativos de una raíz cuadrada.

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Elegí este error como el principal por la frecuencia con que uno se lo encuentra. Ejemplo:

La raíz cuadrada de un número positivo, en este caso 9, tiene dos resultados: 3 y -3

Madre mía!

La justificación de quienes afirman esto, es que la raíz cuadrada de un número, que llamaremos “argumento de la raíz”, son los valores que al elevarse al cuadrado, dan dicho número.

En el ejemplo, como tanto 3 y -3 al elevarse al cuadrado, dan 9, según la definición del párrafo anterior, ambos son soluciones de la raíz.

Esto es falso porque parte de una definición de raíz cuadrada errónea. La definición correcta es la siguiente:

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“La raíz cuadrada de un número no negativo, es el valor no negativo que al elevarse al cuadrado, da dicho número”.

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Según esta definición, la raíz cuadrada de 9, es 3, solamente.

¿Por qué esta definición tiene esa restricción? Si aceptáramos ambos valores como resultado de la raíz cuadrada, tanto el positivo como el negativo, la raíz cuadrada dejaría de ser una función.

Recordemos que para que una relación binaria que relaciona elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B, sea una función, debe cumplir con la siguiente restricción: “Cada elemento x del conjunto A debe relacionarse con un único elemento del conjunto B”.

Veamos en un gráfico cómo sería la función raíz si aceptáramos valores positivos y negativos.

Graficado con Geogebra

Como vemos, si trazamos una recta vertical en, por ejemplo, x = 3, corta al gráfico en dos puntos: uno en la curva verde (la rama positiva) y otro en la curva roja (la rama negativa). Esto pone en evidencia que, con esa definición de raíz cuadrada, deja de ser función.

Alguien, en la defensa de la doble devolución, podría decir que la raíz es una función multiforme. Una función multiforme es la que acepta más de un valor en la imagen para cada x.

No es así, pero si lo fuera, la notación debería anteponer un más menos delante de la raíz:

$y=\pm \sqrt{x}$

Tomado como referencia de Rey Pastor, Calleja y Trejo:

Extracto del libro Análisis Matemático 1 de Rey Pastor, Calleja y Trejo.

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Este error es muy frecuente y tiene su lógica. Por un lado, uno lo ve en videos de Youtube hechos por profesores, en libros de Matemáticas, incluso en Wikipedia. Pero, en especial, es porque va de la mano con el siguiente error, que elegí como número dos.

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2. Pasaje de un cuadrado como raíz sin tomar módulo.

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Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

$x^2=9$

Y despejamos, de esta forma:

$x=\sqrt{9}$

Oh, my God!

¿Qué problema hay con ese despeje?

Según lo que expliqué en la sección anterior, el resultado de dicha ecuación es x = 3, que no es incorrecto, ya que 3 al cuadrado es 9. El problema es que nos estamos perdiendo otra solución:

x = - 3

Alguien, en este punto, dirá, este tío me está volviendo loco. Me acaba de decir que la raíz de un número tiene un solo resultado que es positivo (salvo que sea la raíz de 0), y ahora me dice que tengo que poner una solución positiva y otra negativa.

La respuesta es: sí, la raíz devuelve un solo valor, pero cuando pasamos un cuadrado al otro miembro, debemos colocar a la x las barras de módulo o valor absoluto. De esta manera:

$\mathrm{|x|}=\sqrt{9}$

Este valor absoluto es el que indica que podemos tener dos resultados: uno positivo y otro negativo. La raíz de 9 sigue devolviendo un solo valor: 3.

La definición de la función valor absoluto es la siguiente:

Definición de la función valor absoluto

En español, ¿qué significa?

La fórmula nos indica que si el valor x que ingresa a la función es positivo o cero, devuelve el mismo valor. Es decir, no hace nada. Ejemplo: el valor absoluto de 5, es 5.

Pero, si el valor que ingresa, es negativo, le cambia el signo con un signo menos delante. Ejemplo:

| -7 | = - (-7) = 7

De esta manera, si pedimos | x | = 3, tenemos dos resultados posibles: uno es 3, porque el valor absoluto de 3, es 3 y cumple la igualdad. El otro, es -3, porque el valor absoluto de -3 es - (-3) = 3, que también cumple la igualdad.

Alguien dice, este tío me ha liado, ¿cuándo tenemos dos resultados y cuándo uno solo?

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Resumen

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• Si tenemos que calcular la raíz cuadrada de un número positivo, el resultado es único y es positivo.

• Si tenemos una variable al cuadrado, igualada a un número positivo. Al despejar, debemos tomar el módulo a la variable, por lo que nos quedan dos resultados: uno positivo y otro negativo.

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